微分積分例

$2 \sin^{2} (x) + 1$

ステップ 1

$2 \sin^{2} (x) + 1$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (x) + 1 d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 \sin^{2} (x) d x + \int d x$

ステップ 5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \sin^{2} (x) d x + \int d x$

ステップ 6

半角公式を利用して $\sin^{2} (x)$ を $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$2 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int d x$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x) + \int d x$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

ステップ 8.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$1 \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

ステップ 8.3

$\int 1 - \cos (2 x) d x$ に $1$ をかけます。

$\int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

ステップ 11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x + C - \int \cos (2 x) d x + \int d x$

ステップ 12

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 12.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 12.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 12.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 12.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int d x$

ステップ 13

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u + \int d x$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int d x$

ステップ 15

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + \int d x$

ステップ 16

定数の法則を当てはめます。

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + x + C$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

$x$ と $x$ をたし算します。

$C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + 2 x + C$

ステップ 17.2

簡約します。

$- \frac{1}{2} \sin (u) + 2 x + C$

ステップ 18

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$

ステップ 19

答えは関数 $f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$

微分積分 例

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