微分積分例

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.3

$y$ に $1$ をかけます。

$2 x - x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{y}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{1}{y}$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 4.2

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + 0$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0 + 0$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ と $0$ をたし算します。

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0$

ステップ 5.2.2

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ と $0$ をたし算します。

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$2 x + y - \frac{1}{x^{2}}$

微分積分 例

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