微分積分例

$x y + y^{2} = 2$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x y + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d y} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (y) = x$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.4

$x$ に $1$ をかけます。

$x + y x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + y x' + 2 y$

ステップ 2.3.2

項を並べ替えます。

$y x' + x + 2 y$

ステップ 3

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y x' + x + 2 y = 0$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$x'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y x' + 2 y = - x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$y x' = - x - 2 y$

ステップ 5.2

$y x' = - x - 2 y$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$y x' = - x - 2 y$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x'}{y} = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

ステップ 5.2.3.1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- 2 y}{y}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

$- 2$ を $1$ で割ります。

$x' = - \frac{x}{y} - 2$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} - 2$

微分積分 例

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