微分積分例

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}$

ステップ 1.2

首位係数が正である奇数次数の多項式の負の無限大における極限は負の無限大です。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}$

ステップ 1.3

首位係数が正である奇数次数の多項式の負の無限大における極限は負の無限大です。

$\frac{- \infty}{- \infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{- \infty}$

ステップ 2

$\frac{- \infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 3.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 3.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + 0}$

ステップ 3.6

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2}$

ステップ 4

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $\frac{1}{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2}$

微分積分 例

微分積分例