微分積分例

$f (x) = \sqrt{8 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ を $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$8 x$ を $2^{2} \cdot (2 x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

ステップ 1.1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

ステップ 1.1.1.3

括弧を付けます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

ステップ 1.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.4

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.5

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.7.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.7.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.8

$2^{\frac{3}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.9

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.12

公分母の分子をまとめます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.14

分数の前に負数を移動させます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.15

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.16

$2^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.17.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $2^{1}$ を分子に移動させます。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.18

指数を足して $2^{\frac{3}{2}}$ に $2^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.18.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.18.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.18.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.18.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.18.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.18.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.18.5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

ステップ 2.7.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 2.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 2.10

$2^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $2^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.12

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

$2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.12.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.12.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.12.4

$2$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$ です。

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例