微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 2 \sin (t)$ とします。次に $d x = 2 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

積の法則を $2 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$4$ を $- 4 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$4$ を $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$4 \cos^{2} (t)$ を ${(2 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2 \cos (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2$ を $2 \sin (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

ステップ 2.2.2.2

積の法則を $2 (\sin (t))$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

ステップ 2.2.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

ステップ 3

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

ステップ 4

半角公式を利用して $\sin^{2} (t)$ を $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

ステップ 9

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

ステップ 10

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 10.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 10.2

$u = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 10.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 10.4

$u = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

ステップ 10.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

ステップ 10.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 10.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 10.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 10.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 11

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

ステップ 13

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{π}{6}$ および $0$ で $t$ の値を求めます。

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 14.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$\frac{π}{3}$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

ステップ 14.2.2

$\frac{π}{6}$ と $0$ をたし算します。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

ステップ 14.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

ステップ 14.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

ステップ 14.3.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

ステップ 14.3.4

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 14.3.5

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

ステップ 14.3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

ステップ 14.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

分配則を当てはめます。

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

ステップ 14.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

ステップ 14.4.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

ステップ 14.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

ステップ 14.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

ステップ 14.4.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

ステップ 14.4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 14.4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 14.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

10進法形式：

$0.18117214 \dots$

微分積分 例

微分積分例