微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

ステップ 1

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{0}{4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(2 + x)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.1.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + 0)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \frac{0}{4 - 2^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- 2 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 2.1.3.3.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 2 \frac{0}{4 - 4}$

ステップ 2.1.3.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$- 2 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- 2 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- 2 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- 2 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

ステップ 2.3.3

${(2 + x)}^{2}$ を $(2 + x) (2 + x)$ に書き換えます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 + x) (2 + x)]}$

ステップ 2.3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + x) (2 + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

分配則を当てはめます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 (2 + x) + x (2 + x))]}$

ステップ 2.3.4.2

分配則を当てはめます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x))]}$

ステップ 2.3.4.3

分配則を当てはめます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

ステップ 2.3.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

ステップ 2.3.5.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x)]}$

ステップ 2.3.5.1.3

$x$ に $x$ をかけます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 x + x^{2})]}$

ステップ 2.3.5.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 4 x + x^{2})]}$

ステップ 2.3.6

総和則では、 $4 - (4 + 4 x + x^{2})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ です。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

ステップ 2.3.7

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

ステップ 2.3.8

$\frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (4 + 4 x + x^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]$ です。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]}$

ステップ 2.3.8.2

総和則では、 $4 + 4 x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

ステップ 2.3.8.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

ステップ 2.3.8.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

ステップ 2.3.8.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

ステップ 2.3.8.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + 2 x)}$

ステップ 2.3.8.7

$4$ に $1$ をかけます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 + 2 x)}$

ステップ 2.3.8.8

$0$ と $4$ をたし算します。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (4 + 2 x)}$

ステップ 2.3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.1

分配則を当てはめます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 x}$

ステップ 2.3.9.2

項をまとめます。

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ステップ 2.3.9.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 1 \cdot 2 x}$

ステップ 2.3.9.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 2 x}$

ステップ 2.3.9.2.3

$0$ から $- (- 4 - 2 x)$ を引きます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 4 - 2 x}$

ステップ 2.3.9.3

項を並べ替えます。

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x - 4}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 2 \frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 4}$

ステップ 3.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4}$

ステップ 3.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{1}{- 2 \cdot 0 - 1 \cdot 4}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{0 - 1 \cdot 4}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{0 - 4}$

ステップ 5.1.3

$0$ から $4$ を引きます。

$- 2 (\frac{1}{- 4})$

ステップ 5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{1}{- 4}$

ステップ 5.2.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

ステップ 5.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

ステップ 5.2.4

式を書き換えます。

$- \frac{1}{- 2}$

ステップ 5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{1}{2}$

ステップ 5.4

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2})$

ステップ 5.4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

微分積分例