微分積分例

$\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

ステップ 1

$\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7 d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{6}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

ステップ 5

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$6 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

ステップ 6.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

ステップ 6.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$6 \int x^{- 3} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

ステップ 8.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

ステップ 9

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{2 x} d x + \int 7 d x$

ステップ 10

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 10.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 7 d x$

ステップ 11

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 7 d x$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 7 d x$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{2}$ と $- 4$ をまとめます。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 4}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

ステップ 13.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

ステップ 13.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

ステップ 13.2.2.2

共通因数を約分します。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

ステップ 13.2.2.3

式を書き換えます。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 2}{1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

ステップ 13.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u + \int 7 d x$

ステップ 14

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + \int 7 d x$

ステップ 15

定数の法則を当てはめます。

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + 7 x + C$

ステップ 16

簡約します。

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{u} + 7 x + C$

ステップ 17

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$

ステップ 18

答えは関数 $f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$

微分積分 例

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