微分積分例

$y = 2 \sin (x - \frac{π}{2})$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x - \frac{π}{2})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{2})]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{2})]$

ステップ 1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$2 (\cos (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

ステップ 1.3.3

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

ステップ 1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

ステップ 1.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \cos (x - \frac{π}{2})$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x - \frac{π}{2})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x - \frac{π}{2})]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x - \frac{π}{2}))$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - \frac{π}{2}$ とします。

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{2}))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{2}))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - \frac{π}{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 (- \sin (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{2}))$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 (\sin (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{2}))$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$f'' (x) = - 2 \sin (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \sin (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

ステップ 2.3.4

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 2 \sin (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 \sin (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

ステップ 2.3.5.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \sin (x - \frac{π}{2})$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) = 0$

ステップ 4

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$2 \cos (x - \frac{π}{2}) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x - \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x - \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$\cos (x - \frac{π}{2})$ を $1$ で割ります。

$\cos (x - \frac{π}{2}) = \frac{0}{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$\cos (x - \frac{π}{2}) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x - \frac{π}{2} = \arccos (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 7

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π + π}{2}$

ステップ 7.3

$π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{2 π}{2}$

ステップ 7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 π}{2}$

ステップ 7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$x = π$

ステップ 8

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x - \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x - \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 9.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 9.1.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x - \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 9.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x - \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 9.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x - \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 9.1.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

ステップ 9.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{3 π + π}{2}$

ステップ 9.2.3

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{4 π}{2}$

ステップ 9.2.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.4.1

$2$ を $4 π$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2 π)}{2}$

ステップ 9.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2 π)}{2 (1)}$

ステップ 9.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.2.4.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2 π}{1}$

ステップ 9.2.4.2.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$x = 2 π$

ステップ 10

方程式 $x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = π, 2 π$

ステップ 11

$x = π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \sin ((π) - \frac{π}{2})$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 12.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 12.2

分数をまとめます。

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ステップ 12.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 12.2.2

公分母の分子をまとめます。

$- 2 \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

ステップ 12.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$- 2 \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

ステップ 12.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 12.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 12.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 13

$x = π$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = π$ は極大値です

ステップ 14

$x = π$ のときy値を求めます。

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ステップ 14.1

式の変数 $x$ を $π$ で置換えます。

$f (π) = 2 \sin ((π) - \frac{π}{2})$

ステップ 14.2

結果を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (π) = 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 14.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (π) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 14.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (π) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

ステップ 14.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$f (π) = 2 \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

ステップ 14.2.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$f (π) = 2 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 14.2.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (π) = 2 \cdot 1$

ステップ 14.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f (π) = 2$

ステップ 14.2.6

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 15

$x = 2 π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \sin ((2 π) - \frac{π}{2})$

ステップ 16

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 16.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 2 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 16.2

分数をまとめます。

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ステップ 16.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 2 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 16.2.2

公分母の分子をまとめます。

$- 2 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

ステップ 16.3

分子を簡約します。

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ステップ 16.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (\frac{4 π - π}{2})$

ステップ 16.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 16.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 16.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 16.6

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 \cdot - 1$

ステップ 16.6.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2$

ステップ 17

$x = 2 π$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2 π$ は極小値です

ステップ 18

$x = 2 π$ のときy値を求めます。

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ステップ 18.1

式の変数 $x$ を $2 π$ で置換えます。

$f (2 π) = 2 \sin ((2 π) - \frac{π}{2})$

ステップ 18.2

結果を簡約します。

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ステップ 18.2.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (2 π) = 2 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 18.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 18.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

ステップ 18.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{4 π - π}{2})$

ステップ 18.2.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$f (2 π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 18.2.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (2 π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 18.2.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (2 π) = 2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 18.2.6

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (2 π) = 2 \cdot - 1$

ステップ 18.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (2 π) = - 2$

ステップ 18.2.7

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 19

$f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{2})$ の極値です。

$(π, 2)$ は極大値です

$(2 π, - 2)$ は極小値です

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例