微分積分例

$y = 3 x^{3} - x - 3$

ステップ 1

$y = 3 x^{3} - x - 3$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{3} - x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$9 x^{2} - 1 + 0$

ステップ 2.4.2

$9 x^{2} - 1$ と $0$ をたし算します。

$9 x^{2} - 1$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$9 x^{2} = 1$

ステップ 3.2

$9 x^{2} = 1$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$9 x^{2} = 1$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{1}{9}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt{\frac{1}{9}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

ステップ 3.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

ステップ 3.4.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 3.4.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{1}{3}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{1}{3}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

ステップ 4

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

ステップ 5

一次導関数 $9 x^{2} - 1$ の区間 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ から $- 3$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

ステップ 5.2.1.2

$9$ に $9$ をかけます。

$f' (- 3) = 81 - 1$

ステップ 5.2.2

$81$ から $1$ を引きます。

$f' (- 3) = 80$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $80$ です。

$80$

ステップ 6

一次導関数 $9 x^{2} - 1$ の区間 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

ステップ 6.2.1.2

$9$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 1$

ステップ 6.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f' (0) = - 1$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 7

一次導関数 $9 x^{2} - 1$ の区間 $(\frac{1}{3}, \infty)$ から $3$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

ステップ 7.2.1.2

$9$ に $9$ をかけます。

$f' (3) = 81 - 1$

ステップ 7.2.2

$81$ から $1$ を引きます。

$f' (3) = 80$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $80$ です。

$80$

ステップ 8

$x = - \frac{1}{3}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - \frac{1}{3}$ でグラフの山または谷の点があります。

ステップ 9

$- \frac{1}{3}$ のy座標を求め、グラフの山または谷の点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$f (- \frac{1}{3})$ を求め $- \frac{1}{3}$ のy座標を導きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

括弧を削除します。

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.1.1

積の法則を $- \frac{1}{3}$ に当てはめます。

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2.1.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.5.1

$- \frac{1}{27}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2.5.2

$3$ を $27$ で因数分解します。

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2.5.3

共通因数を約分します。

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2.5.4

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2.7

$- (- \frac{1}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

ステップ 9.1.2.2.7.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

ステップ 9.1.2.3

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.3.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

ステップ 9.1.2.3.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

ステップ 9.1.2.3.3

$- 3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

ステップ 9.1.2.3.4

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 9.1.2.3.5

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

ステップ 9.1.2.3.6

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

ステップ 9.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

ステップ 9.1.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.5.1

$- 3$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

ステップ 9.1.2.5.2

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 - 27}{9}$

ステップ 9.1.2.5.3

$2$ から $27$ を引きます。

$\frac{- 25}{9}$

ステップ 9.1.2.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{25}{9}$

ステップ 9.2

$x$ 座標と $y$ 座標を点の形で書きます。

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

ステップ 10

$x = \frac{1}{3}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = \frac{1}{3}$ でグラフの山または谷の点があります。

ステップ 11

$\frac{1}{3}$ のy座標を求め、グラフの山または谷の点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$f (\frac{1}{3})$ を求め $\frac{1}{3}$ のy座標を導きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

ステップ 11.1.2

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1

括弧を削除します。

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

ステップ 11.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.2.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

ステップ 11.1.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

ステップ 11.1.2.2.3

$3$ を $3$ 乗します。

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

ステップ 11.1.2.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.2.4.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

ステップ 11.1.2.2.4.2

共通因数を約分します。

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

ステップ 11.1.2.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

ステップ 11.1.2.3

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.3.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

ステップ 11.1.2.3.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

ステップ 11.1.2.3.3

$- 3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

ステップ 11.1.2.3.4

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 11.1.2.3.5

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.1.2.3.6

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

ステップ 11.1.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.5.1

$- 3$ に $9$ をかけます。

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

ステップ 11.1.2.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 2 - 27}{9}$

ステップ 11.1.2.5.3

$- 2$ から $27$ を引きます。

$\frac{- 29}{9}$

ステップ 11.1.2.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{29}{9}$

ステップ 11.2

$x$ 座標と $y$ 座標を点の形で書きます。

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

ステップ 12

これらはグラフの山または谷の点です。

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例