微分積分例

$\int - 2 (5 x + 1) e^{25 x^{2} + 10 x + 25} d x$

ステップ 1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$- 2 \int (5 x + 1) e^{25 x^{2} + 10 x + 25} d x$

ステップ 2

$u = 25 x^{2} + 10 x + 25$ とします。次に $d u = (50 x + 10) d x$ すると、 $\frac{1}{10} d u = (5 x + 1) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 25 x^{2} + 10 x + 25$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$25 x^{2} + 10 x + 25$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 25]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $25 x^{2} + 10 x + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$25$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $25 x^{2}$ の微分係数は $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $25$ をかけます。

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [10 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.4.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 2.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 2.1.4.3

$10$ に $1$ をかけます。

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]$

ステップ 2.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.5.1

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$50 x + 10 + 0$

ステップ 2.1.5.2

$50 x + 10$ と $0$ をたし算します。

$50 x + 10$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- 2 \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

ステップ 3

$e^{u}$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$- 2 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{10}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{10}$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{10}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{10} \int e^{u} d u$

ステップ 5.2

$- 2$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1)}{10} \int e^{u} d u$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{5} \int e^{u} d u$

ステップ 5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

ステップ 7

簡約します。

$- \frac{1}{5} e^{u} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $25 x^{2} + 10 x + 25$ で置き換えます。

$- \frac{1}{5} e^{25 x^{2} + 10 x + 25} + C$

微分積分 例

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