微分積分例

$f (x) = a x^{2} + 7 x - 3$

ステップ 1

二次関数の最小値は $x = - \frac{b}{2 a}$ で発生します。 $a$ が正の場合、関数の最小値は $f (- \frac{b}{2 a})$ です。

$f_{最小}$ $x = a x^{2} + b x + c$ は $x = - \frac{b}{2 a}$ で生じます

ステップ 2

$x = - \frac{b}{2 a}$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$a$ と $b$ の値に代入します。

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

ステップ 2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$x = - \frac{7}{2}$

ステップ 3

$f (- \frac{7}{2})$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{7}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{7}{2}) = a {(- \frac{7}{2})}^{2} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{7}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

ステップ 3.2.1.1.2

積の法則を $\frac{7}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{7}{2}) = a (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

ステップ 3.2.1.3

$\frac{7^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

ステップ 3.2.1.4

$7$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

ステップ 3.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{4}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

ステップ 3.2.1.6

$a$ と $\frac{49}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{a \cdot 49}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

ステップ 3.2.1.7

$49$ を $a$ の左に移動させます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 \cdot a}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

ステップ 3.2.1.8

$7 (- \frac{7}{2})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.8.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - 7 (\frac{7}{2}) - 3$

ステップ 3.2.1.8.2

$- 7$ と $\frac{7}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} - 3$

ステップ 3.2.1.8.3

$- 7$ に $7$ をかけます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49}{2} - 3$

ステップ 3.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3$

ステップ 3.2.2

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.2.3

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 6}{2}$

ステップ 3.2.5.2

$- 49$ から $6$ を引きます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 55}{2}$

ステップ 3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

ステップ 3.2.7

最終的な答えは $\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$ です。

$\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

ステップ 4

$x$ 値と $y$ 値を利用し、最小値が発生する場所を求めます。

$(- \frac{7}{2}, \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例