微分積分例

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 4

$2^{\sqrt{x}}$ と $\frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ をまとめます。

$\int \frac{2^{\sqrt{x}} \ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 5

$\ln (2)$ は $x$ に対して定数なので、 $\ln (2)$ を積分の外に移動させます。

$\ln (2) \int \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 6.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 6.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 6.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 6.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 6.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

$u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 7.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 7.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 7.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 7.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 7.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 7.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 7.1.8

簡約します。

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ステップ 7.1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.1.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (2) \int 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 8

$2$ に $2^{u_{1}}$ をかけます。

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ステップ 8.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\ln (2) \int 2^{1} \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (2) \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

ステップ 9

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$1 + u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

ステップ 9.1.2

総和則では、 $1 + u_{1}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 9.1.3

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 9.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 9.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (2) \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10

$2^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ です。

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ を $\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ に書き換えます。

$\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\ln (2)$ と $\frac{1}{\ln (2)}$ をまとめます。

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

ステップ 11.2.2

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

ステップ 11.2.2.2

式を書き換えます。

$1 \cdot 2^{u_{2}} + C$

ステップ 11.2.3

$2^{u_{2}}$ に $1$ をかけます。

$2^{u_{2}} + C$

ステップ 12

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 12.1

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + u_{1}$ で置き換えます。

$2^{1 + u_{1}} + C$

ステップ 12.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例

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