微分積分例

$\frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}} d x$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (5 + 2 x^{4}) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{- 2} d x$

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{- 2} d x$

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{- 2} d x$

ステップ 5

$(5 + 2 x^{4}) x^{- 2}$ を掛けます。

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{4} x^{- 2} d x$

ステップ 6

指数を足して $x^{4}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$x^{- 2}$ を移動させます。

$\int 5 x^{- 2} + 2 (x^{- 2} x^{4}) d x$

ステップ 6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{- 2 + 4} d x$

ステップ 6.3

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{2} d x$

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{2} d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 5 x^{- 2} d x + \int 2 x^{2} d x$

ステップ 8

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int x^{- 2} d x + \int 2 x^{2} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$5 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x^{2} d x$

ステップ 10

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$5 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x^{2} d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$5 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$5 (- \frac{1}{x}) + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 \frac{1}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 12.2.2

$- 5$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{- 5}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 12.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 12.2.4

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$- \frac{5}{x} + 2 \frac{x^{3}}{3} + C$

ステップ 12.2.5

$2$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$- \frac{5}{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

$- \frac{5}{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

ステップ 12.3

項を並べ替えます。

$- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

$- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$