微分積分例

$f (x) = x^{4} - x^{2} + x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} - x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 2 x + 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + 0$

ステップ 2.4.2

$12 x^{2} - 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 x + 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 2 x + 1$ です。

$4 x^{3} - 2 x + 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 0.88464617$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 0.88464617$

ステップ 8

$x = - 0.88464617$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- 0.88464617)}^{2} - 2$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 0.88464617$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 0.78259885 - 2$

ステップ 9.1.2

$12$ に $0.78259885$ をかけます。

$9.3911863 - 2$

ステップ 9.2

$9.3911863$ から $2$ を引きます。

$7.3911863$

ステップ 10

$x = - 0.88464617$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 0.88464617$ は極小値です

ステップ 11

$x = - 0.88464617$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- 0.88464617$ で置換えます。

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

括弧を削除します。

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

ステップ 11.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$- 0.88464617$ を $4$ 乗します。

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

ステップ 11.2.2.2

$- 0.88464617$ を $2$ 乗します。

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 1 \cdot 0.78259885 - 0.88464617$

ステップ 11.2.2.3

$- 1$ に $0.78259885$ をかけます。

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 0.78259885 - 0.88464617$

ステップ 11.2.3

数を引いて簡約します。

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ステップ 11.2.3.1

$0.61246097$ から $0.78259885$ を引きます。

$f (- 0.88464617) = - 0.17013788 - 0.88464617$

ステップ 11.2.3.2

$- 0.17013788$ から $0.88464617$ を引きます。

$f (- 0.88464617) = - 1.05478406$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $- 1.05478406$ です。

$y = - 1.05478406$

ステップ 12

$f (x) = x^{4} - x^{2} + x$ の極値です。

$(- 0.88464617, - 1.05478406)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例