微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} + x}{5 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} + x}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x^{2} + x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.5

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.5.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} + x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $2 x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{1}$

ステップ 2.4

$4 x + 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 4 x + 1$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1)$

ステップ 3.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} (4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} (4 lim_{x \to 0} x + 1)$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} (4 \cdot 0 + 1)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} (0 + 1)$

ステップ 5.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{5} \cdot 1$

ステップ 5.3

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{5}$

10進法形式：

$0.2$

微分積分 例

微分積分例