微分積分例

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

ステップ 1

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ を関数で書きます。

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

ステップ 4

$u = x + 3$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

ステップ 5.2

$- 3$ と $2$ をたし算します。

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

ステップ 6.5

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

ステップ 6.6

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.7

$u$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.8

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.9

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.12

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.14

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.15

負をくくり出します。

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.16

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.17

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.19

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.20

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.21

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.23

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

ステップ 6.24

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

ステップ 6.25

$- u^{2}$ から $2 u^{2}$ を引きます。

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

ステップ 9

$- 3$ は $u$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

ステップ 11

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

ステップ 12

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

ステップ 13.2.2

$2$ と $\frac{u^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

ステップ 13.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

ステップ 13.2.3.2

$u^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

微分積分 例

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