微分積分例

$\sum_{i = - 2}^{3} 3^{- i}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{3^{- (i + 1)}}{3^{- i}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$3^{- (i + 1)}$ と $3^{- i}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

$3^{- i}$ を $3^{- (i + 1)}$ で因数分解します。

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i}}$

ステップ 2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

ステップ 2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

ステップ 2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{3^{- (i + 1) + i}}{1}$

ステップ 2.2.1.2.4

$3^{- (i + 1) + i}$ を $1$ で割ります。

$r = 3^{- (i + 1) + i}$

ステップ 2.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

分配則を当てはめます。

$r = 3^{- i - 1 \cdot 1 + i}$

ステップ 2.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$r = 3^{- i - 1 + i}$

ステップ 2.2.3

$- i - 1 + i$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.2.3.1

$- i$ と $i$ をたし算します。

$r = 3^{0 - 1}$

ステップ 2.2.3.2

$0$ から $1$ を引きます。

$r = 3^{- 1}$

ステップ 2.2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$r = \frac{1}{3}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$i$ の $- 2$ を $3^{- i}$ に代入します。

$a = 3^{2}$

ステップ 3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$a = 9$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$9 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の分子と分母に $3$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$9 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}})$

ステップ 5.1.2

まとめる。

$9 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 5.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3$ に $1$ をかけます。

$9 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$9 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{6}}{3^{6}})}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1

$- \frac{1^{6}}{3^{6}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3^{6}}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.2

$3$ を $3^{6}$ で因数分解します。

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.3

共通因数を約分します。

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.4

式を書き換えます。

$9 \frac{3 + \frac{- 1^{6}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.5

$3$ を $5$ 乗します。

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$9 \frac{3 + \frac{- 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$9 \frac{3 - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.8

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{243}{243}$ を掛けます。

$9 \frac{3 \cdot \frac{243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.9

$3$ と $\frac{243}{243}$ をまとめます。

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.10

公分母の分子をまとめます。

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.11.1

$3$ に $243$ をかけます。

$9 \frac{\frac{729 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.11.2

$729$ から $1$ を引きます。

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$3$ に $1$ をかけます。

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 - 1}$

ステップ 5.5.2

$3$ から $1$ を引きます。

$9 \frac{\frac{728}{243}}{2}$

ステップ 5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$9 (\frac{728}{243} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 5.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.1

$2$ を $728$ で因数分解します。

$9 (\frac{2 (364)}{243} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 5.7.2

共通因数を約分します。

$9 (\frac{2 \cdot 364}{243} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 5.7.3

式を書き換えます。

$9 (\frac{364}{243})$

ステップ 5.8

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.1

$9$ を $243$ で因数分解します。

$9 \frac{364}{9 (27)}$

ステップ 5.8.2

共通因数を約分します。

$9 \frac{364}{9 \cdot 27}$

ステップ 5.8.3

式を書き換えます。

$\frac{364}{27}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{364}{27}$

10進法形式：

$13.\overline{481}$

帯分数形：

$13 \frac{13}{27}$

微分積分 例

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