微分積分例

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

ステップ 2

$u_{2} = \cos (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = \cos (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\cos (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.3

微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 2.1.3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x)$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 3.3

$2$ を $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ の左に移動させます。

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

ステップ 4

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

ステップ 5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 7.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 7.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 8

$9$ を $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 8.1

$9$ を $1$ で因数分解します。

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 8.2

$9$ を $9 {u_{2}}^{2}$ で因数分解します。

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

ステップ 8.3

$9$ を $9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ で因数分解します。

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

ステップ 9

$\frac{1}{9}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

ステップ 10

$\frac{1}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 11

$\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ です。

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

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ステップ 12.1.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{3}$ で割ります。

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

ステップ 12.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

ステップ 12.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{3}$ で割ります。

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

ステップ 12.1.4

$3$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

ステップ 12.2

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ を $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

ステップ 12.3

簡約します。

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ステップ 12.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

ステップ 12.3.2

$- 3$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

ステップ 12.3.3

$- 3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.3.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

ステップ 12.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.3.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

ステップ 12.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

ステップ 12.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

ステップ 12.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

ステップ 13

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (2 x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$

微分積分 例

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