微分積分例

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

ステップ 1

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ を $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ に書き換えます。

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$\sin (2 x) \sin (2 x)$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.1.1

$\sin (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

ステップ 4.3.1.1.2

$\sin (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

ステップ 4.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

ステップ 4.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

ステップ 4.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

ステップ 4.3.1.3

$- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

ステップ 4.3.1.3.2

$\cos (2 x)$ に $1$ をかけます。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

ステップ 4.3.1.3.3

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

ステップ 4.3.1.3.4

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

ステップ 4.3.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 4.3.1.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

ステップ 4.3.2

$- \sin (2 x) \cos (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

ステップ 4.3.3

$- \cos (2 x) \sin (2 x)$ から $\cos (2 x) \sin (2 x)$ を引きます。

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

ステップ 4.4

$\cos^{2} (2 x)$ を移動させます。

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

ステップ 4.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

ステップ 7

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

ステップ 8

$u_{2} = \cos (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{2} = \cos (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$\cos (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 8.1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 8.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 8.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 8.1.3

微分します。

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ステップ 8.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 8.1.3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin (2 x)$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分数の前に負数を移動させます。

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 9.2

$u_{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

ステップ 10

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

ステップ 11

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 13.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1

共通因数を約分します。

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 13.2.2

式を書き換えます。

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 13.3

$\int u_{2} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 14

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 15

簡約します。

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 16

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (2 x)$ で置き換えます。

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

ステップ 17

答えは関数 $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

微分積分 例

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