微分積分例

$e^{a x}$

ステップ 1

$e^{a x}$ を関数で書きます。

$f (a) = e^{a x}$

ステップ 2

関数 $F (a)$ は、微分係数 $f (a)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (a) = \int f (a) d a$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (a) = \int e^{a x} d a$

ステップ 4

$u = a x$ とします。次に $d u = x d a$ すると、 $\frac{1}{x} d u = d a$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = a x$ とします。 $\frac{d u}{d a}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$a x$ を微分します。

$\frac{d}{d a} [a x]$

ステップ 4.1.2

$x$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $a x$ の微分係数は $x \frac{d}{d a} [a]$ です。

$x \frac{d}{d a} [a]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$x$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{x} d u$

ステップ 5

$e^{u}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u}}{x} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{x}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{x}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} \int e^{u} d u$

ステップ 7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{x} (e^{u} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$\frac{1}{x} e^{u} + C$

ステップ 8.2

$\frac{1}{x}$ と $e^{u}$ をまとめます。

$\frac{e^{u}}{x} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $a x$ で置き換えます。

$\frac{e^{a x}}{x} + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (a) = e^{a x}$ の不定積分です。

$F (a) =$ $\frac{e^{a x}}{x} + C$

微分積分 例

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