微分積分例

$y = {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \frac{x - 5}{2 x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ で置き換えます。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x - 5$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$2 x + 1$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

$2$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.10

式を簡約します。

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ステップ 3.10.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - 2 (x - 5)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.1.1

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{0 + 1 - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{1 - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{1 + 10}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$1$ と $10$ をたし算します。

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ に当てはめます。

$3 \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}} \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$3$ と $\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

$\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}}$ に $\frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{3 {(x - 5)}^{2} \cdot 11}{{(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.3

$11$ に $3$ をかけます。

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.4

指数を足して ${(2 x + 1)}^{2}$ に ${(2 x + 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2 + 2}}$

ステップ 5.2.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例