微分積分例

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 8}$

ステップ 1

$f (x) = {(x + 1)}^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{(x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 8) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{(x^{2} + 8) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ を $x^{2} + 8$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 8) (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + 0) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) \cdot 1 - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.6

総和則では、 $x^{2} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.8

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 3.9.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} + 16) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x^{2} + 16) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} (x + 1) + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3.3

$16$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.4

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 ((x + 1) (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.6.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.6.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.6.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.6.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.7

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.8.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.8.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.9

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{2} x - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.10.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.10.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.10.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.10.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.10.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.10.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.10.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.10.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.10.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 + 0 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

$2 x^{2} + 16 x + 16$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.4

$16 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ を $- 2 x^{2} + 14 x + 16$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2}) + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$2$ を $14 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.3

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.4

$2$ を $2 (- x^{2}) + 2 (7 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.5

$2$ を $2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2} + 7 (x) + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.1.2

$7$ を $- 1$ プラス $8$ に書き換える

$\frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 8) x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- x^{2} - 1 x + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{2 (x (- x - 1) - 8 (- x - 1))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.3

最大公約数 $- x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{2 ((- x - 1) (x - 8))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x) - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- (x) - 1 (1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.7

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 4.9

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例