微分積分例

$\frac{x^{2} - x - 11}{e^{x}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - x - 11$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} - x - 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ です。

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{x} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.7

$- 11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 11$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.8

$2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4.1.2

$- 1$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 e^{x} x - 1 \cdot e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4.1.3

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4.1.4

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4.1.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4.1.5

$- 1$ に $- 11$ をかけます。

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4.2

$2 e^{x} x$ と $x e^{x}$ をたし算します。

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ステップ 4.4.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{2 x e^{x} + x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4.2.2

$2 x e^{x}$ と $x e^{x}$ をたし算します。

$\frac{3 x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4.3

$- e^{x}$ と $11 e^{x}$ をたし算します。

$\frac{3 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.5

項を並べ替えます。

$\frac{3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$e^{x}$ を $3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.6.1.1

$e^{x}$ を $3 e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (3 x) - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.1.2

$e^{x}$ を $- e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.1.3

$e^{x}$ を $10 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.1.4

$e^{x}$ を $e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.1.5

$e^{x}$ を $e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.2

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$\frac{e^{x} (3 u - u^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.3

群による因数分解。

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ステップ 4.6.3.1

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 u + 10)}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.3.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.6.3.2.1

$3$ を $3 u$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 (u) + 10)}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.3.2.2

$3$ を $- 2$ プラス $5$ に書き換える

$\frac{e^{x} (- u^{2} + (- 2 + 5) u + 10)}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} (- u^{2} - 2 u + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.3.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.6.3.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{e^{x} ((- u^{2} - 2 u) + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{e^{x} (u (- u - 2) - 5 (- u - 2))}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.3.4

最大公約数 $- u - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{e^{x} ((- u - 2) (u - 5))}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.4

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\frac{e^{x} (- x - 2) (x - 5)}{e^{2 x}}$

ステップ 4.7

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.1

$e^{2 x}$ を $e^{x} (- x - 2) (x - 5)$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x}}$

ステップ 4.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 4.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 4.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)}{1}$

ステップ 4.7.2.4

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$ を $1$ で割ります。

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$

ステップ 4.8

分配則を当てはめます。

$(e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

ステップ 4.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$(- e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

ステップ 4.10

$- 2$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$(- e^{- x} x - 2 \cdot e^{- x}) (x - 5)$

ステップ 4.11

分配法則（FOIL法）を使って $(- e^{- x} x - 2 e^{- x}) (x - 5)$ を展開します。

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ステップ 4.11.1

分配則を当てはめます。

$- e^{- x} x (x - 5) - 2 e^{- x} (x - 5)$

ステップ 4.11.2

分配則を当てはめます。

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} (x - 5)$

ステップ 4.11.3

分配則を当てはめます。

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

ステップ 4.12

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.12.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.12.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.12.1.1.1

$x$ を移動させます。

$- e^{- x} (x \cdot x) - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

ステップ 4.12.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- e^{- x} x^{2} - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

ステップ 4.12.1.2

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

ステップ 4.12.1.3

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

ステップ 4.12.2

$5 e^{- x} x$ から $2 e^{- x} x$ を引きます。

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

ステップ 4.13

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$- x^{2} e^{- x} + 3 x e^{- x} + 10 e^{- x}$

微分積分 例

微分積分例