微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

ステップ 1.2.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

ステップ 1.2.1.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

ステップ 1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (3 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

ステップ 1.2.3.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

ステップ 1.2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

ステップ 1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.3.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.3.3

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.3.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5

項を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.3.5.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.5.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.5.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $\cos (3 x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3.3.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3.3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3.3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3.3.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + 0}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3.5

$- 3 \sin (3 x)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $e^{- x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7.1.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + 0}$

ステップ 3.9

$- e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x}}$

ステップ 4

$- 3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 3 lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{- e^{- x}}$

ステップ 5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 3 \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

ステップ 6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 3 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

ステップ 7

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

ステップ 8

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} e^{- x}}$

ステップ 9

指数に極限を移動させます。

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{lim_{x \to 0} - x}}$

ステップ 10

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 11

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 11.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{0}}$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$- 3 \frac{\sin (0)}{- e^{0}}$

ステップ 12.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 3 \frac{0}{- e^{0}}$

ステップ 12.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 3 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

ステップ 12.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 3 (\frac{0}{- 1})$

ステップ 12.4

$0$ を $- 1$ で割ります。

$- 3 \cdot 0$

ステップ 12.5

$- 3$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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