微分積分例

$f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int {(3 x + 2)}^{4} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

ステップ 4

$u = 3 x + 2$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 3 x + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$3 x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

ステップ 5

$u^{4}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{4}}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

ステップ 9

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.1

$x^{6}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

ステップ 9.2

${(x^{6})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

ステップ 9.2.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{- 6} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- 6}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

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ステップ 11.1.1

$x^{- 5}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

ステップ 11.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 5}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

ステップ 11.2

簡約します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\frac{1}{3 \cdot 5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

ステップ 11.3.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{15} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

ステップ 11.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{15} u^{5} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

ステップ 11.3.4

$\frac{1}{5 x^{5}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{15} u^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $3 x + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

微分積分 例

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