微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$3$ を $3 \cos (3 θ)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

ステップ 1.2

積の法則を $3 (\cos (3 θ))$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

ステップ 1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

ステップ 2

$9$ は $θ$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

ステップ 3

$u_{1} = 3 θ$ とします。次に $d u_{1} = 3 d θ$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = 3 θ$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d θ}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$3 θ$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

ステップ 3.1.2

$3$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $3 θ$ の微分係数は $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ です。

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 3.2

$u_{1} = 3 θ$ の $θ$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

ステップ 3.3

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.4

$u_{1} = 3 θ$ の $θ$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

ステップ 3.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 3.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 4

$\cos^{2} (u_{1})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.2

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7

半角公式を利用して $\cos^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 12

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 12.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 12.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 12.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 12.2

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 12.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 12.4

$u_{2} = 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 12.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 12.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

ステップ 12.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

ステップ 12.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 13

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 15

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

ステップ 16

代入し簡約します。

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ステップ 16.1

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $u_{1}$ の値を求めます。

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

ステップ 16.2

$π$ および $0$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

ステップ 16.3

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

ステップ 17.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

ステップ 17.3

$\sin (π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

ステップ 17.4

$\frac{1}{2}$ と $\sin (π)$ をまとめます。

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

ステップ 18.2

各項を簡約します。

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ステップ 18.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

ステップ 18.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

ステップ 18.3

$π$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 18.4

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ を掛けます。

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ステップ 18.4.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 18.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 19

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3 π}{4}$

10進法形式：

$2.35619449 \dots$

微分積分 例

微分積分例