微分積分例

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- \frac{3}{20}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{20} x^{5}$ の微分係数は $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 (\frac{3}{20}) x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.4

$- 5$ と $\frac{3}{20}$ をまとめます。

$\frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.5

$- 5$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.6

$\frac{- 15}{20}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{- 15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.7

$- 15$ と $20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

$5$ を $- 15 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.2.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 8 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 24 x^{2}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $- \frac{3 x^{4}}{4} + 24 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- \frac{3}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3 x^{4}}{4}$ の微分係数は $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.4

$- 4$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.5

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.6

$\frac{- 12}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.7

$- 12$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.7.1

$4$ を $- 12 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.7.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.7.2.4

$- 3 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{3} + 24 (2 x)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $24$ をかけます。

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 48 x$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 3 x^{3} + 48 x$ です。

$- 3 x^{3} + 48 x$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{3} + 48 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{3} + 48 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3 x$ を $- 3 x^{3} + 48 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$- 3 x$ を $- 3 x^{3}$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x^{2} + 48 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 3 x$ を $48 x$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 16 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$- 3 x$ を $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 16)$ で因数分解します。

$- 3 x (x^{2} - 16) = 0$

ステップ 2.2.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- 3 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$- 3 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$- 3 x (x + 4) (x - 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.7

最終解は $- 3 x (x + 4) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 4, 4$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} + 8 {(0)}^{3}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot 0 + 8 {(0)}^{3}$

ステップ 3.1.2.1.2

$- \frac{3}{20} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$f (0) = 0 (\frac{3}{20}) + 8 {(0)}^{3}$

ステップ 3.1.2.1.2.2

$0$ に $\frac{3}{20}$ をかけます。

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3}$

ステップ 3.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.4

$8$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$- 4$ を $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = - \frac{3}{20} \cdot {(- 4)}^{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- 4$ を $5$ 乗します。

$f (- 4) = - \frac{3}{20} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

$- \frac{3}{20}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- 4) = \frac{- 3}{20} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$4$ を $20$ で因数分解します。

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.3

$4$ を $- 1024$ で因数分解します。

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 256) + 8 {(- 4)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 256) + 8 {(- 4)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2.5

式を書き換えます。

$f (- 4) = \frac{- 3}{5} \cdot - 256 + 8 {(- 4)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.3

$\frac{- 3}{5}$ と $- 256$ をまとめます。

$f (- 4) = \frac{- 3 \cdot - 256}{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 3$ に $- 256$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{768}{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.5

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f (- 4) = \frac{768}{5} + 8 \cdot - 64$

ステップ 3.3.2.1.6

$8$ に $- 64$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{768}{5} - 512$

ステップ 3.3.2.2

$- 512$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (- 4) = \frac{768}{5} - 512 \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.3.2.3

$- 512$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f (- 4) = \frac{768}{5} + \frac{- 512 \cdot 5}{5}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- 4) = \frac{768 - 512 \cdot 5}{5}$

ステップ 3.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

$- 512$ に $5$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{768 - 2560}{5}$

ステップ 3.3.2.5.2

$768$ から $2560$ を引きます。

$f (- 4) = \frac{- 1792}{5}$

ステップ 3.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 4) = - \frac{1792}{5}$

ステップ 3.3.2.7

最終的な答えは $- \frac{1792}{5}$ です。

$- \frac{1792}{5}$

ステップ 3.4

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ で代入して $- 4$ 求めた点は、 $(- 4, - \frac{1792}{5})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 4, - \frac{1792}{5})$

ステップ 3.5

$4$ を $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = - \frac{3}{20} \cdot {(4)}^{5} + 8 {(4)}^{3}$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

$4$ を $5$ 乗します。

$f (4) = - \frac{3}{20} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.2.1

$- \frac{3}{20}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (4) = \frac{- 3}{20} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.2

$4$ を $20$ で因数分解します。

$f (4) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.3

$4$ を $1024$ で因数分解します。

$f (4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 256) + 8 {(4)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$f (4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 256) + 8 {(4)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.2.5

式を書き換えます。

$f (4) = \frac{- 3}{5} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.3

$\frac{- 3}{5}$ と $256$ をまとめます。

$f (4) = \frac{- 3 \cdot 256}{5} + 8 {(4)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.4

$- 3$ に $256$ をかけます。

$f (4) = \frac{- 768}{5} + 8 {(4)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (4) = - \frac{768}{5} + 8 {(4)}^{3}$

ステップ 3.5.2.1.6

$4$ を $3$ 乗します。

$f (4) = - \frac{768}{5} + 8 \cdot 64$

ステップ 3.5.2.1.7

$8$ に $64$ をかけます。

$f (4) = - \frac{768}{5} + 512$

ステップ 3.5.2.2

$512$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (4) = - \frac{768}{5} + 512 \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 3.5.2.3

$512$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f (4) = - \frac{768}{5} + \frac{512 \cdot 5}{5}$

ステップ 3.5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (4) = \frac{- 768 + 512 \cdot 5}{5}$

ステップ 3.5.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1

$512$ に $5$ をかけます。

$f (4) = \frac{- 768 + 2560}{5}$

ステップ 3.5.2.5.2

$- 768$ と $2560$ をたし算します。

$f (4) = \frac{1792}{5}$

ステップ 3.5.2.6

最終的な答えは $\frac{1792}{5}$ です。

$\frac{1792}{5}$

ステップ 3.6

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ で代入して $4$ 求めた点は、 $(4, \frac{1792}{5})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(4, \frac{1792}{5})$

ステップ 3.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 4, - \frac{1792}{5}), (4, \frac{1792}{5})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 4)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4.1$ で置換えます。

$f'' (- 4.1) = - 3 {(- 4.1)}^{3} + 48 (- 4.1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 4.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4.1) = - 3 \cdot - 68.921 + 48 (- 4.1)$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ に $- 68.921$ をかけます。

$f'' (- 4.1) = 206.763 + 48 (- 4.1)$

ステップ 5.2.1.3

$48$ に $- 4.1$ をかけます。

$f'' (- 4.1) = 206.763 - 196.8$

ステップ 5.2.2

$206.763$ から $196.8$ を引きます。

$f'' (- 4.1) = 9.963$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $9.963$ です。

$9.963$

ステップ 5.3

$- 4.1$ で二次導関数は $9.963$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 4)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 4)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 4, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{3} + 48 (- 2)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = - 3 \cdot - 8 + 48 (- 2)$

ステップ 6.2.1.2

$- 3$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (- 2) = 24 + 48 (- 2)$

ステップ 6.2.1.3

$48$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = 24 - 96$

ステップ 6.2.2

$24$ から $96$ を引きます。

$f'' (- 2) = - 72$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 72$ です。

$- 72$

ステップ 6.3

$- 2$ で二次導関数は $- 72$ です。これは負の値なので、 $(- 4, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 4, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, 4)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = - 3 {(2)}^{3} + 48 (2)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = - 3 \cdot 8 + 48 (2)$

ステップ 7.2.1.2

$- 3$ に $8$ をかけます。

$f'' (2) = - 24 + 48 (2)$

ステップ 7.2.1.3

$48$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = - 24 + 96$

ステップ 7.2.2

$- 24$ と $96$ をたし算します。

$f'' (2) = 72$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $72$ です。

$72$

ステップ 7.3

$2$ で二次導関数は $72$ です。これは正の値なので、 $(0, 4)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, 4)$ で増加

ステップ 8

区間 $(4, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4.1$ で置換えます。

$f'' (4.1) = - 3 {(4.1)}^{3} + 48 (4.1)$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$4.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (4.1) = - 3 \cdot 68.921 + 48 (4.1)$

ステップ 8.2.1.2

$- 3$ に $68.921$ をかけます。

$f'' (4.1) = - 206.763 + 48 (4.1)$

ステップ 8.2.1.3

$48$ に $4.1$ をかけます。

$f'' (4.1) = - 206.763 + 196.8$

ステップ 8.2.2

$- 206.763$ と $196.8$ をたし算します。

$f'' (4.1) = - 9.963$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 9.963$ です。

$- 9.963$

ステップ 8.3

$4.1$ で二次導関数は $- 9.963$ です。これは負の値なので、 $(4, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(4, \infty)$ で減少

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 4, - \frac{1792}{5}), (0, 0), (4, \frac{1792}{5})$ です。

$(- 4, - \frac{1792}{5}), (0, 0), (4, \frac{1792}{5})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例