微分積分例

$f (x) = 5 x - 2 x^{3} - 2$ is concave down at $x = 1$

ステップ 1

$x = 1$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 5 (1) - 2 \cdot 1^{3} - 2$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = 5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$

ステップ 1.2.3

$5 (1) - 2 {(1)}^{3} - 2$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$5$ に $1$ をかけます。

$y = 5 - 2 {(1)}^{3} - 2$

ステップ 1.2.3.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$y = 5 - 2 \cdot 1 - 2$

ステップ 1.2.3.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$y = 5 - 2 - 2$

ステップ 1.2.3.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$5$ から $2$ を引きます。

$y = 3 - 2$

ステップ 1.2.3.2.2

$3$ から $2$ を引きます。

$y = 1$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5 x - 2 x^{3} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$5 - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$5 - 6 x^{2} + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$5 - 6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$5 - 6 x^{2}$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$- 6 x^{2} + 5$

ステップ 2.6

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- 6 {(1)}^{2} + 5$

ステップ 2.7

簡約します。

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ステップ 2.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 6 \cdot 1 + 5$

ステップ 2.7.1.2

$- 6$ に $1$ をかけます。

$- 6 + 5$

ステップ 2.7.2

$- 6$ と $5$ をたし算します。

$- 1$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 1$ と与えられた点 $(1, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 1 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1.4.1

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - x + 1$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - x + 1 + 1$

ステップ 3.3.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = - x + 2$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例