微分積分例

$\frac{6 t^{2} - 6}{2 t - 4}$

ステップ 1

$6 t^{2} - 6$ と $2 t - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1

$2$ を $6 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2}) - 6}{2 t - 4}]$

ステップ 1.2

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2}) + 2 \cdot - 3}{2 t - 4}]$

ステップ 1.3

$2$ を $2 (3 t^{2}) + 2 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 t - 4}]$

ステップ 1.4

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$2$ を $2 t$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t) - 4}]$

ステップ 1.4.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 t + 2 \cdot - 2}]$

ステップ 1.4.3

$2$ を $2 t + 2 \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t - 2)}]$

ステップ 1.4.4

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d t} [\frac{2 (3 t^{2} - 3)}{2 (t - 2)}]$

ステップ 1.4.5

式を書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\frac{3 t^{2} - 3}{t - 2}]$

ステップ 2

$f (t) = 3 t^{2} - 3$ および $g (t) = t - 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t - 2) \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 3] - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 t^{2} - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$\frac{(t - 2) (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{(t - 2) (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t - 2) (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{(t - 2) (6 t + \frac{d}{d t} [- 3]) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t - 2) (6 t + 0) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(t - 2) (6 t) - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$6$ を $t - 2$ の左に移動させます。

$\frac{6 \cdot (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t - 2]}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3.7

総和則では、 $t - 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ です。

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3.9

$- 2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) (1 + 0)}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3.10

式を簡約します。

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ステップ 3.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3) \cdot 1}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 3.10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 (t - 2) t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(6 t + 6 \cdot - 2) t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{6 t \cdot t + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2} - 3)}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{6 t \cdot t + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1.1.1

$t$ を移動させます。

$\frac{6 (t \cdot t) + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.1.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{6 t^{2} + 6 \cdot - 2 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.2

$6$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{6 t^{2} - 12 t - (3 t^{2}) - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 t^{2} - 12 t - 3 t^{2} - - 3}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{6 t^{2} - 12 t - 3 t^{2} + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$6 t^{2}$ から $3 t^{2}$ を引きます。

$\frac{3 t^{2} - 12 t + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.5

$3$ を $3 t^{2} - 12 t + 3$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1

$3$ を $3 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (t^{2}) - 12 t + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$3$ を $- 12 t$ で因数分解します。

$\frac{3 (t^{2}) + 3 (- 4 t) + 3}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.5.3

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (t^{2}) + 3 (- 4 t) + 3 (1)}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.5.4

$3$ を $3 (t^{2}) + 3 (- 4 t)$ で因数分解します。

$\frac{3 (t^{2} - 4 t) + 3 (1)}{{(t - 2)}^{2}}$

ステップ 4.5.5

$3$ を $3 (t^{2} - 4 t) + 3 (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (t^{2} - 4 t + 1)}{{(t - 2)}^{2}}$

微分積分 例

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