微分積分例

$y = \sin (2 x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (2 x))$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (y) = \sin (y)$ および $g (y) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [2 x]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d y} [2 x]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (2 x) \frac{d}{d y} [2 x]$

ステップ 3.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [x]$ です。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\cos (2 x) (2 x')$

ステップ 3.4

$\cos (2 x) (2 x')$ の因数を並べ替えます。

$2 \cos (2 x) x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = 2 \cos (2 x) x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $2 \cos (2 x) x' = 1$ として書き換えます。

$2 \cos (2 x) x' = 1$

ステップ 5.2

$2 \cos (2 x) x' = 1$ の各項を $2 \cos (2 x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 \cos (2 x) x' = 1$ の各項を $2 \cos (2 x)$ で割ります。

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 5.2.2.2

$\cos (2 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 5.2.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分数を分解します。

$x' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$x' = \frac{1}{2} \sec (2 x)$

ステップ 5.2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $\sec (2 x)$ をまとめます。

$x' = \frac{\sec (2 x)}{2}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{\sec (2 x)}{2}$

微分積分 例

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