微分積分例

$f (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 1 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - 2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $1 - 2 x$ で置き換えます。

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $1 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.1.1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.1.2.7

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 6 {(1 - 2 x)}^{2}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

${(1 - 2 x)}^{2}$ を $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- 6 ((1 - 2 x) (1 - 2 x))]$

ステップ 1.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ を展開します。

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ステップ 1.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

ステップ 1.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

ステップ 1.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 2 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x))]$

ステップ 1.1.2.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

ステップ 1.1.2.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

ステップ 1.1.2.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

ステップ 1.1.2.3.1.6

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2})]$

ステップ 1.1.2.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})]$

ステップ 1.1.2.4

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$ です。

$- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.5

総和則では、 $1 - 4 x + 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ です。

$- 6 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.7

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ をたし算します。

$- 6 (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.8

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.10

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 6 (- 4 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 1.1.2.11

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 6 (- 4 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.2.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 (- 4 + 4 (2 x))$

ステップ 1.1.2.13

$2$ に $4$ をかけます。

$- 6 (- 4 + 8 x)$

ステップ 1.1.2.14

簡約します。

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ステップ 1.1.2.14.1

分配則を当てはめます。

$- 6 \cdot - 4 - 6 (8 x)$

ステップ 1.1.2.14.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.2.14.2.1

$- 6$ に $- 4$ をかけます。

$24 - 6 (8 x)$

ステップ 1.1.2.14.2.2

$8$ に $- 6$ をかけます。

$24 - 48 x$

ステップ 1.1.2.14.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - 48 x + 24$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 48 x + 24$ です。

$- 48 x + 24$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 48 x + 24 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 48 x + 24 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $24$ を引きます。

$- 48 x = - 24$

ステップ 1.2.3

$- 48 x = - 24$ の各項を $- 48$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 48 x = - 24$ の各項を $- 48$ で割ります。

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 48$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 24}{- 48}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$- 24$ と $- 48$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.1

$- 24$ を $- 24$ で因数分解します。

$x = \frac{- 24 (1)}{- 48}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.2.1

$- 24$ を $- 48$ で因数分解します。

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, \frac{1}{2})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - 48 \cdot 0 + 24$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 48$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 24$

ステップ 4.2.2

$0$ と $24$ をたし算します。

$f'' (0) = 24$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $24$ です。

$24$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \frac{1}{2})$ でグラフが上に凹です。

グラフは上に凹です。

ステップ 5

区間 $(\frac{1}{2}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = - 48 \cdot 3 + 24$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 48$ に $3$ をかけます。

$f'' (3) = - 144 + 24$

ステップ 5.2.2

$- 144$ と $24$ をたし算します。

$f'' (3) = - 120$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 120$ です。

$- 120$

ステップ 5.3

$f'' (3)$ が負なので、区間 $(\frac{1}{2}, \infty)$ でグラフが下に凹です。

グラフは下に凹です。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

グラフは上に凹です。

グラフは下に凹です。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例