微分積分例

$(x + x^{2}) e^{- 2 x}$

ステップ 1

$f (x) = x + x^{2}$ および $g (x) = e^{- 2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$(x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x + x^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$(x + x^{2}) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

ステップ 3.3.2

$- 2$ を $(x + x^{2}) e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot ((x + x^{2}) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

ステップ 3.4

総和則では、 $x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(- 2 x - 2 x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \cdot 1 + e^{- 2 x} (2 x)$

ステップ 4.4

項をまとめます。

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ステップ 4.4.1

$e^{- 2 x}$ に $1$ をかけます。

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (2 x)$

ステップ 4.4.2

$- 2 x e^{- 2 x}$ と $e^{- 2 x} (2 x)$ をたし算します。

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ステップ 4.4.2.1

$e^{- 2 x}$ を移動させます。

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

ステップ 4.4.2.2

$- 2 x e^{- 2 x}$ と $2 x e^{- 2 x}$ をたし算します。

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 0$

ステップ 4.4.3

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

ステップ 4.5

項を並べ替えます。

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$

ステップ 4.6

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

微分積分 例

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