微分積分例

$\sum_{i = 1}^{25} {(i^{2} + 2)}^{2}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

${(i^{2} + 2)}^{2}$ を $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ に書き換えます。

$(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(i^{2} + 2) (i^{2} + 2)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$i^{2} (i^{2} + 2) + 2 (i^{2} + 2)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 (i^{2} + 2)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

指数を足して $i^{2}$ に $i^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

ステップ 1.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$i^{4} + i^{2} \cdot 2 + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

ステップ 1.3.1.2

$2$ を $i^{2}$ の左に移動させます。

$i^{4} + 2 \cdot i^{2} + 2 i^{2} + 2 \cdot 2$

ステップ 1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$i^{4} + 2 i^{2} + 2 i^{2} + 4$

ステップ 1.3.2

$2 i^{2}$ と $2 i^{2}$ をたし算します。

$i^{4} + 4 i^{2} + 4$

ステップ 1.4

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 i^{2} + 4 = \sum_{i = 1}^{25} i^{4} + 4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2} + \sum_{i = 1}^{25} 4$

ステップ 3

$\sum_{i = 1}^{25} i^{4}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$i$ の各値の級数を展開します。

$1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + \dots + 25^{4}$

ステップ 3.2

展開形を簡約します。

$2153645$

ステップ 4

$4 \sum_{i = 1}^{25} i^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(4) (\frac{25 (25 + 1) (2 \cdot 25 + 1)}{6})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$25$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{25 \cdot 26 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.2

指数をまとめます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$25$ に $26$ をかけます。

$4 \frac{650 (2 \cdot 25 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.2.2

$2$ に $25$ をかけます。

$4 \frac{650 (50 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.3

$50$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{650 \cdot 51}{6}$

ステップ 4.3.2

項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$650$ に $51$ をかけます。

$4 (\frac{33150}{6})$

ステップ 4.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{33150}{6}$

ステップ 4.3.2.2.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{33150}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2.2.4

式を書き換えます。

$2 (\frac{33150}{3})$

ステップ 4.3.2.3

$2$ と $\frac{33150}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 33150}{3}$

ステップ 4.3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 4.3.2.4.1

$2$ に $33150$ をかけます。

$\frac{66300}{3}$

ステップ 4.3.2.4.2

$66300$ を $3$ で割ります。

$22100$

ステップ 5

$\sum_{i = 1}^{25} 4$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 5.2

値を公式に代入します。

$(4) (25)$

ステップ 5.3

$4$ に $25$ をかけます。

$100$

ステップ 6

合計した結果を足します。

$2153645 + 22100 + 100$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$2153645$ と $22100$ をたし算します。

$2175745 + 100$

ステップ 7.2

$2175745$ と $100$ をたし算します。

$2175845$

微分積分 例

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