微分積分例

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{3} + 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x + 1)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to - 1} x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.6

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.7

すべての $x$ に $- 1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 1 + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.7.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 1 + 1)}^{2} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0^{2} \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.8.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0 \cdot (- 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.8.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0 \cdot (- 1 - 1)}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.8.4

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 \cdot - 2}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.8.5

$0$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{3} + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.2

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.4.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.4.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.5

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{(x^{2} + 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.10

$x^{2} + 2 x + 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.11

総和則では、 $x^{2} + 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.13

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.15

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.16

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.17

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.18.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.18.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.4.6

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.4.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.4.8

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.4.9

$2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.4.10

$x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.18.4.11

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.19

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.20

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.21

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} + 0}$

ステップ 1.3.22

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

ステップ 2.3

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

ステップ 2.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

ステップ 2.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

ステップ 2.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

ステップ 2.7

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

ステップ 2.8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $- 1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

ステップ 3.3

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 2 - 1 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 2 - 1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.5

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.6

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1}$

ステップ 4.3

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} \cdot 0$

ステップ 4.4

$\frac{1}{3}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

微分積分例