微分積分例

$f (x) = \cos^{4} (x)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \cos^{4} (x) d x$

ステップ 3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} d x$

ステップ 3.2

${\cos (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} d x$

ステップ 4

半角公式を利用して $\cos^{2} (x)$ を $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$\int {(\frac{1 + \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

ステップ 5

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ を積として書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

ステップ 7.2

${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

累乗法を積に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 7.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

ステップ 7.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 7.2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 7.2.5

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 7.2.6

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 7.2.7

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 7.2.8

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 7.2.9

$\frac{1}{2}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 7.2.10

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 7.2.11

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 7.2.12

$\cos (u_{1})$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 7.2.13

$\frac{1}{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 7.2.14

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.15

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.16

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.17

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.18

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.19

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.20

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.21

$\frac{1}{4}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.22

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.23

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.24

$\frac{\cos (u_{1})}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.25

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.26

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.27

$\frac{\cos (u_{1})}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.28

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2.29

$\frac{\cos (u_{1})}{4}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 7.2.30

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 7.2.31

$\cos (u_{1})$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 7.2.32

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

ステップ 7.2.33

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 7.2.34

$\frac{\cos (u_{1})}{4}$ と $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 7.2.35

$2$ と $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 7.2.36

$\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ と $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 7.2.37

$\frac{1}{4}$ と $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 7.3

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$2$ を $2 \cos (u_{1})$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 7.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 7.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 9

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 10

半角公式を利用して $\cos^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 12.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 13

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 14

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 15

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 15.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 15.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 15.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 15.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 16

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 17

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 18

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 19

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 20

$\frac{1}{4}$ と $u_{1}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

ステップ 21

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 22

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C))$

ステップ 23

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

簡約します。

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

ステップ 23.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1

$\frac{u_{1}}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

ステップ 23.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.2.1

$\frac{u_{1}}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

ステップ 23.2.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

ステップ 23.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

ステップ 23.2.4

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

ステップ 23.2.5

$u_{1}$ と $2 u_{1}$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

ステップ 24

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 24.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 u_{1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 24.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 25

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1.1

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1.1.1

$2$ を $3 (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 25.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1.1.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 25.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 25.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{3 (x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 25.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{3 x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 25.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 25.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.3.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.3.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3 x}{4}$ をかけます。

$\frac{3 x}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 25.3.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{3 x}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 25.3.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (4 x)}{16}$ をかけます。

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 25.3.2.2

$2$ に $16$ をかけます。

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 25.3.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.3.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をかけます。

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 25.3.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

ステップ 26

項を並べ替えます。

$\frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin (4 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 27

答えは関数 $f (x) = \cos^{4} (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin (4 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

微分積分 例

微分積分例