微分積分例

$y = arcsec (3 x) + arccsc (3 x)$

ステップ 1

総和則では、 $arcsec (3 x) + arccsc (3 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = arcsec (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $arcsec (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2.4

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 (x))}^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2.5

積の法則を $3 (x)$ に当てはめます。

$\frac{1}{3 x \sqrt{3^{2} x^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2.6

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2.8

$\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2.9

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 2.9.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = arccsc (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d u_{2}} [arccsc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $arccsc (u_{2})$ の微分係数は $- \frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}}$ です。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

ステップ 3.4

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 (x))}^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

ステップ 3.5

積の法則を $3 (x)$ に当てはめます。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{3^{2} x^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

ステップ 3.6

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

ステップ 3.7

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} \cdot 3$

ステップ 3.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - 3 \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

ステップ 3.9

$- 3$ と $\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{- 3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

ステップ 3.10

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

ステップ 3.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.2.1

$3$ を $3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x \sqrt{9 x^{2} - 1})}$

ステップ 3.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x \sqrt{9 x^{2} - 1})}$

ステップ 3.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{- 1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

ステップ 3.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

ステップ 4

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ から $\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ を引きます。

$0$

微分積分 例

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