微分積分例

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{3 e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.4

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.5

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.6

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 e^{- 1 \cdot 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.7.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.7.2.1.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.7.2.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.7.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.7.2.1.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.2.7.2.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - 8}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

ステップ 1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

ステップ 1.3.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 8}$

ステップ 1.3.1.4

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 8}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 {(- 2)}^{2} - 1 \cdot 8}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 8}$

ステップ 1.3.3.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

ステップ 1.3.3.1.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{0}{8 - 8}$

ステップ 1.3.3.2

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 e^{- 2 - x} - 3}{2 x^{2} - 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x} - 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $3 e^{- 2 - x} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [3 e^{- 2 - x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{- 2 - x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 - x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 - x$ とします。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 - x$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $- 2 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.8

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (e^{- 2 - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.9

$- 1$ を $e^{- 2 - x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- 1 e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.10

$- 1 e^{- 2 - x}$ を $- e^{- 2 - x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - 2} \frac{3 (- e^{- 2 - x}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.3.11

$- 1$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x} + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.5

$- 3 e^{- 2 - x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $2 x^{2} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

ステップ 3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]}$

ステップ 3.7.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + \frac{d}{d x} [- 8]}$

ステップ 3.8

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x + 0}$

ステップ 3.9

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 3 e^{- 2 - x}}{4 x}$

ステップ 4

$\frac{- 3}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 3}{4} lim_{x \to - 2} \frac{e^{- 2 - x}}{x}$

ステップ 5

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} e^{- 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

ステップ 6

指数に極限を移動させます。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 2} - 2 - x}}{lim_{x \to - 2} x}$

ステップ 7

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- lim_{x \to - 2} 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

ステップ 8

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 2} x}}{lim_{x \to - 2} x}$

ステップ 9

すべての $x$ に $- 2$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{lim_{x \to - 2} x}$

ステップ 9.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{- 2}$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

まとめる。

$\frac{- 3 e^{- 1 \cdot 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

ステップ 10.2

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 3 e^{- 2 + 2}}{4 \cdot - 2}$

ステップ 10.2.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 3 e^{0}}{4 \cdot - 2}$

ステップ 10.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{- 3 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

ステップ 10.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 8}$

ステップ 10.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 3}{- 8}$

ステップ 10.5

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{3}{8}$

微分積分 例

微分積分例