微分積分例

$x^{3} e^{x}$

ステップ 1

$x^{3} e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} e^{x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x^{3} e^{x} d x$

ステップ 4

$u = x^{3}$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

ステップ 5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

ステップ 6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

ステップ 7

$u = x^{2}$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

ステップ 9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

ステップ 10

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

ステップ 11

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

ステップ 12

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ を $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ に書き換えます。

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = x^{3} e^{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

微分積分 例