微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (x)}{1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.6.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.6.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.1.3.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.1.3.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \sin (0)}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \sin (0)}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1 - \sin (0)}$

ステップ 1.1.3.6.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

ステップ 1.1.3.6.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

ステップ 1.1.3.6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.1.3.6.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (x)}{1 - \cos (x) - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - \cos (x) + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.6

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $1 - \cos (x) - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 1.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 1.3.9.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 1.3.9.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 1.3.9.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 1.3.10

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 1.3.10.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{0 + \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 1.3.11

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 2.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 2.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 2.6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 2.7

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (0)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 + \cos (0)}{\sin (0) - \cos (0)}$

ステップ 4.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0 + 1}{\sin (0) - \cos (0)}$

ステップ 4.1.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin (0) - \cos (0)}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{0 - \cos (0)}$

ステップ 4.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{0 - 1}$

ステップ 4.2.4

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{- 1}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

微分積分 例

微分積分例