微分積分例

$\int 5 u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

ステップ 1

$5$ は $u$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

ステップ 2

$u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ とします。次に $d u_{1} = 6 u^{2} d u$ すると、 $\frac{1}{6} d u_{1} = u^{2} d u$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d u}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$3 + 2 u^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d u} [3 + 2 u^{3}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $3 + 2 u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ です。

$\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$3$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $2 u^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$ です。

$0 + 2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 (3 u^{2})$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$0 + 6 u^{2}$

ステップ 2.1.4

$0$ と $6 u^{2}$ をたし算します。

$6 u^{2}$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$5 \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{6} d u_{1}$

ステップ 3

${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$5 \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2}{3}}}{6} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{6}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1})$

ステップ 5

$\frac{1}{6}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1}$

ステップ 6

べき乗則では、 ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}}$ です。

$\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$ を $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$ に書き換えます。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{5}{6}$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 7.2.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{15}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 7.2.3

$6$ に $5$ をかけます。

$\frac{15}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 7.2.4

$15$ と $30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.1

$15$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{15 (1)}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 7.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.2.1

$15$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 7.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 7.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 8

$u_{1}$ のすべての発生を $3 + 2 u^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$

微分積分 例

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