微分積分例

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

ステップ 3

$u = - 2 x - 4$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = - 2 x - 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 2 x - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $- 2 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 3.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$- 2$

ステップ 3.2

$u = - 2 x - 4$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$u_{lower} = - 4 - 4$

ステップ 3.3.2

$- 4$ から $4$ を引きます。

$u_{lower} = - 8$

ステップ 3.4

$u = - 2 x - 4$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 2 t - 4$

ステップ 3.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

ステップ 3.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 4.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

ステップ 8.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

ステップ 8.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

ステップ 10

$- 2 t - 4$ および $- 8$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

ステップ 11

極限を求めます。

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ステップ 11.1

極限を求めます。

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ステップ 11.1.1

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

ステップ 11.1.2

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

ステップ 11.2

指数 $- 2 t - 4$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- 2 t - 4}$ が $0$ に近づきます。

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

ステップ 11.3

極限を求めます。

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ステップ 11.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $e^{- 8}$ の極限値を求めます。

$- (0 - e^{- 8})$

ステップ 11.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 11.3.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

ステップ 11.3.2.2

$0$ から $\frac{1}{e^{8}}$ を引きます。

$- - \frac{1}{e^{8}}$

ステップ 11.3.2.3

$- - \frac{1}{e^{8}}$ を掛けます。

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ステップ 11.3.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{e^{8}}$

ステップ 11.3.2.3.2

$\frac{1}{e^{8}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e^{8}}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{e^{8}}$

10進法形式：

$0.00033546 \dots$

微分積分 例

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