微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

ステップ 1

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- d u = \sin (x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 1.2

$u = \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

ステップ 4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ の $u$ に関する積分は $\arctan (u)]_{1}^{0}$ です。

$- (\arctan (u)]_{1}^{0})$

ステップ 6

$0$ および $1$ で $\arctan (u)$ の値を求めます。

$- (\arctan (0) - \arctan (1))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- (0 - \arctan (1))$

ステップ 7.1.2

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$- (0 - \frac{π}{4})$

ステップ 7.2

$0$ から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$- - \frac{π}{4}$

ステップ 7.3

$- - \frac{π}{4}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{π}{4}$

ステップ 7.3.2

$\frac{π}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{4}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{4}$

10進法形式：

$0.78539816 \dots$

微分積分 例

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