微分積分例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $[- 3, 1]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 16 x + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$4 x^{3} - 16 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 16 x$ です。

$4 x^{3} - 16 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 16 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 16 x = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 16 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$4 x$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 1.2.2.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 1.2.2.3

因数分解。

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ステップ 1.2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 1.2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 1.2.6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.2.7

最終解は $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 8$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 2$

ステップ 1.4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 2$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 8$ に $4$ をかけます。

$16 - 32 + 2$

ステップ 1.4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$16$ から $32$ を引きます。

$- 16 + 2$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$- 16$ と $2$ をたし算します。

$- 14$

ステップ 1.4.3

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.3.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

ステップ 1.4.3.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

ステップ 1.4.3.2.1.3

$- 8$ に $4$ をかけます。

$16 - 32 + 2$

ステップ 1.4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.2.1

$16$ から $32$ を引きます。

$- 16 + 2$

ステップ 1.4.3.2.2.2

$- 16$ と $2$ をたし算します。

$- 14$

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(0, 2), (- 2, - 14)$

ステップ 3

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 3.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 3.2

一次導関数 $4 x^{3} - 16 x$ の区間 $(- \infty, - 2)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4$

ステップ 3.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 16 \cdot - 4$

ステップ 3.2.2.1.2

$4$ に $- 64$ をかけます。

$f' (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 4$

ステップ 3.2.2.1.3

$- 16$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = - 256 + 64$

ステップ 3.2.2.2

$- 256$ と $64$ をたし算します。

$f' (- 4) = - 192$

ステップ 3.2.2.3

最終的な答えは $- 192$ です。

$- 192$

ステップ 3.3

一次導関数 $4 x^{3} - 16 x$ の区間 $(- 2, 0)$ から $- 1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

ステップ 3.3.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

ステップ 3.3.2.1.3

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 4 + 16$

ステップ 3.3.2.2

$- 4$ と $16$ をたし算します。

$f' (- 1) = 12$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 3.4

一次導関数 $4 x^{3} - 16 x$ の区間 $(0, 2)$ から $1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

ステップ 3.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

ステップ 3.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

ステップ 3.4.2.1.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 4 - 16$

ステップ 3.4.2.2

$4$ から $16$ を引きます。

$f' (1) = - 12$

ステップ 3.4.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 3.5

一次導関数 $4 x^{3} - 16 x$ の区間 $(2, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

指数を足して $4$ に ${(4)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1.1

$4$ に ${(4)}^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

ステップ 3.5.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 16 \cdot 4$

ステップ 3.5.2.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f' (4) = 4^{4} - 16 \cdot 4$

ステップ 3.5.2.1.2

$4$ を $4$ 乗します。

$f' (4) = 256 - 16 \cdot 4$

ステップ 3.5.2.1.3

$- 16$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = 256 - 64$

ステップ 3.5.2.2

$256$ から $64$ を引きます。

$f' (4) = 192$

ステップ 3.5.2.3

最終的な答えは $192$ です。

$192$

ステップ 3.6

$x = - 2$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = - 2$ は極小値です。

$x = - 2$ は極小値です

ステップ 3.7

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 3.8

$x = 2$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 2$ は極小値です。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 3.9

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ の極値です。

$x = - 2$ は極小値です

$x = 0$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

$x = - 2$ は極小値です

$x = 0$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 2)$

最小値： $(- 2, - 14)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例