微分積分例

$\frac{\ln^{2} (x)}{x}$

ステップ 1

$f (x) = \ln^{2} (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)] - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\ln (x)$ とします。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{x (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x (2 \ln (x) \frac{1}{x}) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x (\frac{2}{x} \ln (x)) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{2}{x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{x \frac{2 \ln (x)}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2.2

$x$ と $\frac{2 \ln (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x (2 \ln (x))}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x (2 \ln (x))}{x} - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2.3.2

$2 \ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \ln (x) - \ln^{2} (x)}{x^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{\ln (x^{2}) - \ln^{2} (x)}{x^{2}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{- \ln^{2} (x) + \ln (x^{2})}{x^{2}}$

微分積分 例

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