微分積分例

$x^{\frac{2}{3}} - 3$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x^{\frac{2}{3}} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 0$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 0$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.4.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0$

ステップ 1.4.2.2

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.2

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

ステップ 2.3

$n = - \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

ステップ 2.7.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

ステップ 2.9

$x^{- \frac{4}{3}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 2.10

$\frac{2}{3}$ に $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ をかけます。

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

ステップ 2.11

掛け算します。

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ステップ 2.11.1

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

ステップ 2.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

微分積分 例

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