微分積分例

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1}$ を $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})}$

ステップ 1.2

$2 x + 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})$ を展開します。

$lim_{x \to \infty} e^{(2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}$

ステップ 2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}$

ステップ 3

$(2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})$ を $\frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x - 4}{x + 3})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.3.2.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.3.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.3.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.3.6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.5.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.5.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1.1

$- 4$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.7.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.7.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.7.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.7.3

$1$ を $1$ で割ります。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.2.7.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

ステップ 4.1.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{2 x + 1}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 4}{x + 3})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 4}{x + 3})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x - 4}{x + 3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x - 4}{x + 3}$ とします。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x - 4}{x + 3}$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x - 4}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{x - 4}{x + 3}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x + 3}{x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.4

$\frac{x + 3}{x - 4}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.5

$f (x) = x - 4$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.6

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.8

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.10

$x + 3$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.11

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.13

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.15

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.16

$\frac{x + 3}{x - 4}$ に $\frac{x + 3 - (x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x - 4) {(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.17

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.17.1

$x + 3$ を $(x - 4) {(x + 3)}^{2}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x + 3) (x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.17.2

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x + 3) (x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.17.3

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3 - (x - 4)}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.18.1

分配則を当てはめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3 - x - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.18.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.18.2.1

$x + 3 - x - - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.18.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 + 3 - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.18.2.1.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.18.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 + 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.18.2.3

$3$ と $4$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.18.3

項を並べ替えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

ステップ 4.3.19

$\frac{1}{2 x + 1}$ を ${(2 x + 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]}}$

ステップ 4.3.20

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.20.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 1$ とします。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

ステップ 4.3.20.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

ステップ 4.3.20.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

ステップ 4.3.21

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

ステップ 4.3.22

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

ステップ 4.3.23

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

ステップ 4.3.24

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [1])}}$

ステップ 4.3.25

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + 0)}}$

ステップ 4.3.26

$2$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.27

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- 2 {(2 x + 1)}^{- 2}}}$

ステップ 4.3.28

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.28.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- 2 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

ステップ 4.3.28.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.28.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{- 2}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

ステップ 4.3.28.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

ステップ 4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7}{(x + 3) (x - 4)} \cdot - 1 \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2}}$

ステップ 4.5

$\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}$ に $\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{(x + 3) (x - 4) \cdot 2}}$

ステップ 4.6

$2$ を $(x + 3) (x - 4)$ の左に移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 4)}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 4)}}$

ステップ 5.2

$\frac{7}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{(x + 3) (x - 4)}}$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 3) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x (x - 4) + 3 (x - 4)}}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (x - 4)}}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

ステップ 6.2.1.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - 4 x + 3 x - 12}}$

ステップ 6.2.2

$- 4 x$ と $3 x$ をたし算します。

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - x - 12}}$

ステップ 7

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ります。

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 12}{x^{2}}}}$

ステップ 8

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

各項を簡約します。

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 8.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 8.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 8.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 8.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 8.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

共通因数を約分します。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 8.6.2

式を書き換えます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 8.7

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 9

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 10

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 10.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 11

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

ステップ 12

$12$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 13

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

ステップ 14

答えを簡約します。

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ステップ 14.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

ステップ 14.1.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{2^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

ステップ 14.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

ステップ 14.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0 - 12 \cdot 0}}$

ステップ 14.2.2

$- 12$ に $0$ をかけます。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0 + 0}}$

ステップ 14.2.3

$1 + 0$ と $0$ をたし算します。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0}}$

ステップ 14.2.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1}}$

ステップ 14.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.1

$- \frac{7}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{4}{1}}$

ステップ 14.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{2 (2)}{1}}$

ステップ 14.3.3

共通因数を約分します。

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{1}}$

ステップ 14.3.4

式を書き換えます。

$e^{- 7 \cdot 2}$

ステップ 14.4

$- 7$ に $2$ をかけます。

$e^{- 14}$

ステップ 15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{14}}$

微分積分 例

微分積分例