微分積分例

$x^{2} e^{2 x}$

ステップ 1

$x^{2} e^{2 x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} e^{2 x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x$

ステップ 4

$u = x^{2}$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

ステップ 5.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

ステップ 6

$\frac{1}{2} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

ステップ 7.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

ステップ 7.3

$\int e^{2 x} (x) d x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

ステップ 8

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 9.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 9.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

ステップ 11

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 11.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 11.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

ステップ 12

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 13

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 14.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

ステップ 15

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ を $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 16.2

簡約します。

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ステップ 16.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 16.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 16.2.3

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 16.2.4

$\frac{x}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 16.2.5

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

ステップ 16.2.6

$- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 16.2.7

$- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 16.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 16.2.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

ステップ 17

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 18.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 18.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 18.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 18.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.3.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

ステップ 18.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

ステップ 18.3.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

ステップ 18.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

ステップ 18.3.5

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 18.4

各項を簡約します。

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ステップ 18.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 18.4.2

$- - \frac{e^{2 x}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 18.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 18.4.2.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 18.5

$- x e^{2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 18.6

$- x e^{2 x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 18.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 18.8

分子を簡約します。

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ステップ 18.8.1

$e^{2 x}$ を $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ で因数分解します。

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ステップ 18.8.1.1

$e^{2 x}$ を $- x e^{2 x} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 18.8.1.2

$1$ を掛けます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

ステップ 18.8.1.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 18.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 18.9

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 18.10

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

ステップ 18.11

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

ステップ 18.12

$- (2 x - 1)$ を $- 1 (2 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

ステップ 18.13

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 19

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

ステップ 20

答えは関数 $f (x) = x^{2} e^{2 x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

微分積分 例

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