微分積分例

$x e^{x} d x$

ステップ 1

$x e^{x} d x$ を関数で書きます。

$f (x) = x e^{x} d x$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x e^{x} d x d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{1} x e^{x} d d x$

ステップ 4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{1} x^{1} e^{x} d d x$

ステップ 4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{1 + 1} e^{x} d d x$

ステップ 4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int x^{2} e^{x} d d x$

ステップ 5

$d$ は $x$ に対して定数なので、 $d$ を積分の外に移動させます。

$d \int x^{2} e^{x} d x$

ステップ 6

$u = x^{2}$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$d (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$d (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

ステップ 8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$d (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

ステップ 9

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

ステップ 10

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

ステップ 11

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ を $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ に書き換えます。

$d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = x e^{x} d x$ の不定積分です。

$F (x) =$ $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

微分積分 例

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