微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

ステップ 1

$4$ は $θ$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

ステップ 2.2

${\sec (θ)}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ に書き換えます。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (θ)$ を $1 + \tan^{2} (θ)$ に書き換えます。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

ステップ 4

$u = \tan (θ)$ とします。次に $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \tan (θ)$ とします。 $\frac{d u}{d θ}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\tan (θ)$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

ステップ 4.1.2

$θ$ に関する $\tan (θ)$ の微分係数は $\sec^{2} (θ)$ です。

$\sec^{2} (θ)$

ステップ 4.2

$u = \tan (θ)$ の $θ$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \tan (0)$

ステップ 4.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = \tan (θ)$ の $θ$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

ステップ 4.5

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$4 \int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

ステップ 5

$(1 + u^{2}) u^{4}$ を掛けます。

$4 \int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$u^{4}$ に $1$ をかけます。

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

ステップ 6.2

指数を足して $u^{2}$ に $u^{4}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

ステップ 6.2.2

$2$ と $4$ をたし算します。

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$4 (\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{5}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{6}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{7} u^{7}$ です。

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1}$ と $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ をまとめます。

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

ステップ 11.2

$\frac{1}{7}$ と $u^{7}$ をまとめます。

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}]_{0}^{1})$

ステップ 12

代入し簡約します。

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ステップ 12.1

$1$ および $0$ で $\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}$ の値を求めます。

$4 ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{7}}{7}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1^{7}}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.3

$\frac{1}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.4

$\frac{1}{7}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $35$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 12.2.5.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$4 (\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.5.2

$5$ に $7$ をかけます。

$4 (\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.5.3

$\frac{1}{7}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.5.4

$7$ に $5$ をかけます。

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.6

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{7 + 5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.7

$7$ と $5$ をたし算します。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.9

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.9.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.9.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.9.2.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.9.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 12.2.10

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{7}))$

ステップ 12.2.11

$0$ と $7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.11.1

$7$ を $0$ で因数分解します。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 (0)}{7}))$

ステップ 12.2.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.11.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

ステップ 12.2.11.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

ステップ 12.2.11.2.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{1}))$

ステップ 12.2.11.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$4 (\frac{12}{35} - (0 + 0))$

ステップ 12.2.12

$0$ と $0$ をたし算します。

$4 (\frac{12}{35} - 0)$

ステップ 12.2.13

$- 1$ に $0$ をかけます。

$4 (\frac{12}{35} + 0)$

ステップ 12.2.14

$\frac{12}{35}$ と $0$ をたし算します。

$4 (\frac{12}{35})$

ステップ 12.2.15

$4$ と $\frac{12}{35}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 12}{35}$

ステップ 12.2.16

$4$ に $12$ をかけます。

$\frac{48}{35}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{48}{35}$

10進法形式：

$1.37142857 \dots$

帯分数形：

$1 \frac{13}{35}$

微分積分 例

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